A végtelenségnek több fajtája is létezik. Na de megtalálható az univerzumban is, vagy csak a matematikában?
A matematikusok gyakran hivatkoznak megszámlálható és megszámlálhatatlan végtelenre. Igen, a végtelenségnek több fajtája létezik. Például az összes egész szám (...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...) halmaza megszámlálhatóan végtelen halmaz. Egy másik példa a racionális számok halmaza - a p/q alakú számok, amelyek egész számok tört részeiből épülnek fel, mint például 1/2, 3/4 és 7/8, és kizárják a nullával való osztást. Az ilyen halmazok mindegyikében található objektumok számát (más néven a halmaz kardinálisát) aleph-0-nak nevezzük. Az Aleph-0 végtelen, de nem a lehető legnagyobb végtelen. A valós számok halmazának, amely magában foglalja a racionális és irracionális számok halmazát, a kardinálisa aleph-1. Az aleph-1-et kontinuitásként ismerjük. Nagyobb, mint az aleph-0, és úgy kapjuk meg, hogy az aleph-0-t megszorozzuk önmagával aleph-0-szor: 1=00.
A kontinuum-hipotézis azt állítja, hogy nincs olyan halmaz, amelynek kardinálisa aleph-0 és aleph-1 között van. A jelenlegi eredmények azonban azt mutatják, hogy a kontinuumhipotézis eldönthetetlen - sem nem bizonyítható, sem nem bizonyíthatatlan. Az emberi elmét még az absztrakt matematika formális merevségén belül is összezavarják a különböző végtelenekről alkotott elképzelések.
Mi a helyzet a térrel? Végtelen-e a tér? A világegyetem minden irányban a végtelen felé terjed, vagy visszahajlik önmagába, mint egy léggömb felszíne? Megismerhetjük-e valaha is a tér alakját?
Az a tény, hogy csak arról kapunk információt, ami a kozmikus horizonton belül van, amelyet a fény által az ősrobbanás óta megtett távolság határoz meg, komolyan korlátozza azt, hogy mit tudhatunk arról, ami a horizonton túl van.
Amikor a kozmológusok azt mondják, hogy a világegyetem lapos, valójában azt értik alatta, hogy a világegyetemnek az a része, amelyet mi mérünk, lapos - vagy az adatok pontosságán belül majdnem az.
A mi foltunk laposságából nem tudunk meggyőző kijelentéseket tenni arról, hogy mi van a kozmikus horizonton túl. Ha a világegyetem globálisan formálódik, meg tudnánk-e ezt állapítani, mivel egy lapos kozmikus horizonton belül rekedtünk? Ha a világegyetemünk háromdimenziós gömb alakú, akkor lehet, hogy nincs szerencsénk.
A jelenlegi adatokból ítélve a gömb görbülete olyan csekély lenne, hogy nehéz lenne bármiféle jelét mérni. Érdekes, de erőltetett lehetőség, hogy a világegyetemnek bonyolult alakja van - amit a geometrikusok nem triviális topológiának neveznek.
A topológia a geometria azon ága, amely azt tanulmányozza, hogy a terek hogyan deformálódhatnak folyamatosan egymásba. Folyamatosan azt jelenti, hogy vágás nélkül, mint amikor egy gumilapot nyújtunk és hajlítunk. Ezeket az átalakulásokat homeomorfizmusoknak nevezik.
Például egy lyukak nélküli golyó deformálható labda alakú ellipszoiddá, kockává vagy körtévé. De nem deformálható fánk alakúvá, mert a egy lyuka van. A különböző kozmikus topológiák olyan dolgokban hagyhatnak lenyomatot, amelyeket meg tudunk mérni. Például, ha a topológia nem egyszerűen összefüggő, akkor a távoli objektumok fénye mintákat hozhat létre a mikrohullámú háttérben.
Egy konkrét példával élve, ha a világegyetem bagel alakú, és a horizonthoz képest kicsi a sugara, akkor a távoli galaxisokból érkező fénynek lehetett ideje többször is körbetekeredni, többszörös azonos képeket létrehozva, mint a párhuzamos tükrökben tükröződő tükörképek. Elvileg láthatnánk ilyen kísérteties tükörképeket vagy mintákat, és ezek információt szolgáltatnának a tér globális alakjáról. Eddig azonban nem találtunk ilyen jelzőt.
Mivel nem látunk ilyen képeket, következtethetünk-e arra, hogy a tér lapos?
Soha semmit nem tudunk abszolút pontossággal mérni, ezért soha nem lehetünk biztosak benne, még akkor sem, ha a jelenlegi adatok határozottan a kozmikus horizontunkon belüli nulla térgörbület felé mutatnak.
A görbület pozitív kimutatásának hiányában tehát a tér alakjának kérdése gyakorlatilag megválaszolhatatlan. Valami megismerhetetlen dologról van szó? Úgy tűnik, hogy igen. Valami igen drasztikus dolognak kellene közbeavatkoznia ahhoz, hogy megismerhetővé váljon, például egy olyan elméletnek, amely képes a tér alakját első elvekből kiszámítani. Eddig nincs ilyen elméletünk.
Még ha egy nap meg is születik egy, akkor is érvényesítenünk kell. Ez mindenféle problémákat vet fel számunkra, amint azt nemrégiben megvitattuk. A következtetés kiábrándító lehet, de egyben rendkívüli is. Lehet, hogy a világegyetem térben végtelen, de nem tudhatjuk.
