A probléma meglepően egyszerűen hangzik: felírható-e minden 2-nél nagyobb páros szám két prímszám összegeként?
A prímszámok olyan pozitív egész számok, amelyeknek pontosan két pozitív osztójuk van: 1 és önmaguk. A 6 például felírható 3+3-ként, a 10 pedig 5+5 vagy 3+7 formában. A 42-re is több megoldás létezik, például 5+37 vagy 11+31. Minél nagyobb számokat vizsgálunk, annál több megfelelő kombinációt találhatunk. Első pillantásra tehát úgy tűnik, hogy az állításnak igaznak kell lennie. Csakhogy a matematikában az, hogy valami akár elképzelhetetlenül sok esetben működik, még nem bizonyítja, hogy mindig működni fog.
A probléma Christian Goldbach porosz matematikusról kapta a nevét. Goldbach fiatalon hosszú európai utazásra indult, amely során kora legjelentősebb matematikusaival is találkozott, köztük Gottfried Wilhelm Leibnizzel és Isaac Newtonnal. Később Oroszországban telepedett le, ahol 1727-ben megismerkedett a mindössze 20 éves Leonhard Eulerrel. Barátságukból több évtizedes levelezés született.
Goldbach 1742. június 7-én az egyik Eulernek küldött levelének margójára feljegyzett egy matematikai állítást. Eredeti formájában még nem pontosan a ma Goldbach-sejtésként ismert problémát fogalmazta meg, Euler azonban továbbgondolta az ötletet. Így született meg két állítás. A gyenge Goldbach-sejtés szerint minden 5-nél nagyobb páratlan szám felírható három prímszám összegeként. Az erős Goldbach-sejtés pedig azt állítja, hogy minden 2-nél nagyobb páros szám két prímszám összege. Euler annyira biztos volt az utóbbi igazságában, hogy lényegében bizonyos tételként tekintett rá – annak ellenére, hogy bizonyítani ő sem tudta. És itt kezdődött a több évszázados küzdelem.
A következő másfél évszázadban alig történt előrelépés. 1900-ban azonban David Hilbert német matematikus a párizsi Nemzetközi Matematikai Kongresszuson felsorolta a következő évszázad legfontosabb matematikai problémáit. A prímszámokkal kapcsolatos nyolcadik problémakörben Goldbach sejtése is szerepet kapott.
A 20. században G. H. Hardy és John Littlewood új módszerekkel kezdte vizsgálni, hányféleképpen írhatók fel a számok prímek összegeként. Munkájukba később Srinivasa Ramanujan indiai matematikus ötletei is bekerültek, és megszületett az úgynevezett körmódszer, amely évtizedeken át a probléma egyik legfontosabb megközelítésének számított. Az igazi áttörés azonban először nem az erős, hanem a gyenge Goldbach-sejtésnél érkezett.
1937-ben Ivan Vinogradov orosz matematikus bebizonyította, hogy minden kellően nagy páratlan szám felírható három prímszám összegeként. Egy fontos kérdés azonban megmaradt: mit jelent pontosan az, hogy „kellően nagy”? A következő évtizedekben matematikusok folyamatosan csökkentették azt a határt, amely fölött a bizonyítás biztosan működött.
Végül Harald Helfgott perui matematikus jutott el a megoldásig. David Platt matematikussal számítógépes módszerekkel 8,8×10³⁰-ig ellenőrizték a számokat, miközben Helfgott a matematikai bizonyítás határát 10²⁷ alá szorította. A két tartomány így átfedésbe került.
Helfgott 2013-ban bejelentette eredményét: minden 5-nél nagyobb páratlan szám felírható három prímszám összegeként. A gyenge Goldbach-sejtés ezzel közel három évszázad után bizonyítást nyert. Az eredeti, erősebb probléma azonban továbbra is nyitva maradt.
A sejtés történetének egyik legkülönlegesebb alakja Chen Jingrun kínai matematikus volt, akit már középiskolásként megszállottan foglalkoztatott a probléma. 1954 telén, amikor Hsziamen környékén tüzérségi támadások zajlottak, a 21 éves Chen az óvóhelyen is matematikai könyveket olvasott. Később a Kínai Tudományos Akadémián folytatta kutatásait, és 1966-ban jelentős áttörést ért el.
Bebizonyította, hogy minden kellően nagy páros szám felírható egy prímszám és egy olyan szám összegeként, amely vagy maga is prímszám, vagy pontosan két prímszám szorzata. Ez rendkívül közel került Goldbach eredeti sejtéséhez. Chen munkáját azonban a kínai kulturális forradalom szakította félbe. Értelmiségiként üldözték, fizikai munkára kényszerítették és súlyosan bántalmazták. Ennek ellenére titokban tovább dolgozott matematikai problémáin, majd 1973-ban publikálta eredményét. Később nemzeti hősként ünnepelték, de élete nagy célját, az erős Goldbach-sejtés bizonyítását neki sem sikerült elérnie.
A számítógépek megjelenésével egy másik út is megnyílt: egyszerűen meg lehet vizsgálni egymás után a páros számokat, hátha akad közöttük olyan, amely nem írható fel két prímszám összegeként. 1938-ban Nils Pipping még kézzel ellenőrizte a számokat 100 ezerig. A modern számítógépek azóta 4×10¹⁸-ig, vagyis négymilliárdszor egymilliárdig vizsgálták a sejtést, és egyetlen ellenpéldát sem találtak.
Ez elképesztően erős jel arra, hogy Goldbachnak igaza lehetett. Matematikai bizonyításnak azonban továbbra sem számít. Ha ugyanis a sejtés hamis, elméletileg létezhet egy olyan felfoghatatlanul nagy páros szám, amelyet nem lehet két prímszám összegeként felírni. Egyetlen ilyen ellenpélda elegendő lenne ahhoz, hogy közel 300 év matematikai várakozását egy pillanat alatt megcáfolja.
Ha viszont az állítás valóban minden páros számra igaz, azt bizonyítani kellene – ehhez pedig a kutatók szerint valószínűleg egy alapvetően új matematikai megközelítésre lenne szükség. Így egy 1742-ben papírra vetett, néhány szóban megfogalmazható kérdés továbbra is nyitva áll: vajon minden 2-nél nagyobb páros szám felírható két prímszám összegeként?
Olvasd el ezt is!