written equations on brown wooden board

Egy új bizonyítás jelentősen megerősít egy több évtizedes eredményt az egész számok törtek összegeként való ábrázolásának mindenütt jelenlévő módjáról.


A számteoretikusok mindig a rejtett struktúrát keresik. És amikor egy elkerülhetetlennek tűnő számmintával szembesülnek, próbára teszik annak állóképességét, keményen próbálkoznak olyan helyzeteket kitalálni, amelyekben az adott minta nem jelenhet meg. Az Oxfordi Egyetem munkatársa, Thomas Bloom egyik legújabb eredménye, amely az ilyen minták ellenálló képességét bizonyítja, egy olyan kérdésre ad választ, amelynek gyökerei egészen az ókori Egyiptomig nyúlnak vissza. A kérdés olyan törtekre vonatkozik, amelyek számlálójában 1 szerepel, például 1⁄2, 1⁄7, vagy 1⁄122. Ezek az egységtörtek különösen fontosak voltak az ókori egyiptomiak számára, mivel a számrendszerükben csak ilyen típusú törtek léteztek.

A 2⁄3 egyetlen szimbólumának kivételével a bonyolultabb törteket (például a 3⁄4-et) csak egységtörtek összegeként tudták kifejezni (1⁄2 + 1⁄4). Az Ernie Croot nevű matematikus az Erdős-Graham-probléma úgynevezett színező változatát oldotta meg. Ebben az egész számokat véletlenszerűen különböző, színekkel jelölt vödrökbe sorolják. Két évtizeddel később azonban, amikor Bloom arra készült, hogy bemutassa Croot tanulmányát az olvasócsoportjának, rájött, hogy még többet is ki tud hozni a Croot által bevezetett technikákból. Croot bizonyítása egyfajta integrálra, az úgynevezett exponenciális összegre támaszkodott.

Ez egy olyan kifejezés, amely képes kimutatni, hogy hány egészértékű megoldása van egy problémának - ebben az esetben, hogy hány részhalmaz tartalmaz olyan egységnyi törtek összegét, amely egyenlő 1-gyel. De van egy bökkenő: ezeket az exponenciális összegeket szinte mindig lehetetlen pontosan megoldani. Még a becslésük is megfizethetetlenül nehéz lehet. Croot becslése lehetővé tette számára, hogy bebizonyítsa, hogy az integrál, amellyel dolgozott, pozitív, ami azt jelentette, hogy legalább egy megoldás létezik a kezdeti halmazban. Bloom úgy alakította át Croot stratégiáját, hogy az nagy prímtényezős számok esetén is működjön. Ehhez azonban egy sor olyan akadályt kellett leküzdeni, amelyek megnehezítették annak bizonyítását, hogy az exponenciális összeg nagyobb nullánál.

Croot és Bloom is részekre bontotta az integrált, és bebizonyította, hogy az egyik fő tag nagy és pozitív, az összes többi tag (amelyek néha negatívak is lehetnek) pedig túl kicsi ahhoz, hogy érdemi különbséget tegyenek. De míg Croot figyelmen kívül hagyta a nagy prímtényezőket tartalmazó egész számokat, hogy bebizonyítsa, hogy ezek a tagok elég kicsik, Bloom módszere jobb kontrollt adott neki az exponenciális összeg ezen részei felett - és ennek eredményeképpen nagyobb mozgásteret, amikor olyan számokkal foglalkozott, amelyek egyébként gondot okozhatnak. Az ilyen bajkeverők még mindig útjában állhattak annak, hogy megmutassa, hogy egy adott tag kicsi, de Bloom bebizonyította, hogy viszonylag kevés helyen fordul elő ilyen.

Bloom olyan halmazokat keresett, amelyek reciprokai kisebb törtekből állnak. Ezeket aztán építőelemként használta fel, hogy eljusson a kívánt eredményhez. Nem találsz őszintén 1-et, mondta Bloom. Talán 1⁄3-at találsz, de ha ezt háromszor három különböző módon teszed meg, akkor egyszerűen összeadod őket, és máris megkapod az 1-et. Ezáltal sokkal erősebb kijelentést tett arról, hogy ez a számmintázat valójában mennyire robusztus: mindaddig, amíg egy halmaz a számsor egy apró, de kellően nagy szeletét tartalmazza, (nem számít, hogy ez a szelet hogyan néz ki) lehetetlen elkerülni, hogy ne találjuk meg az egységnyi törtek ilyen szép összegeit.

Ugyanakkor a matematikusokat egy új megoldandó kérdéssel is meghagyta, ezúttal olyan halmazokról van szó, amelyekben nem lehet olyan egységnyi törtek összegét találni, amely egyenlő 1-gyel. A prímek az egyik példa erre - nincs olyan részhalmaza a prímeknek, amelynek reciprokai összege 1 lenne -, de ez a tulajdonság más végtelen halmazokra is igaz lehet, amelyek nagyobbak abban az értelemben, hogy reciprokáik összege még gyorsabban közelít a végtelenhez, mint a prímek reciprokái. Vajon milyen gyorsan nőhetnek ezek az összegek, mielőtt a rejtett struktúra újra megjelenik, és néhány reciprokuk elkerülhetetlenül összeadódik 1-gyel?

(Forrás: Wired)


A figyelmetekbe ajánljuk