Így bizonyították a matematikusok, hogy 1+1=2
Elsőre teljesen magától értetődőnek tűnik, hogy 1+1=2. Olyan alapigazság, amit senki nem kérdőjelez meg – mégis létezik rá egy több száz oldalas matematikai bizonyítás. Sőt, a híres Principia Mathematica című műben ez az állítás csak a 360. oldal környékén jelenik meg.
A könyvet Bertrand Russell és Alfred North Whitehead írta a 20. század elején. Céljuk azonban nem az volt, hogy bebizonyítsák az 1+1=2-t, hiszen ezt addigra már mindenki elfogadta. Sokkal ambiciózusabb tervük volt: az egész matematikát egyetlen, tisztán logikai alapokra épülő rendszerből levezetni.
A matematikában minden állítás bizonyításokra épül, amelyek újabb bizonyításokra támaszkodnak. Ez a lánc végül eljut olyan alapfeltevésekhez, amelyeket már nem lehet tovább bizonyítani – egyszerűen elfogadjuk őket. A 20. század elején azonban ezek az alapok nem voltak egységesek; más szabályok érvényesültek az algebrában, a geometriában vagy a kalkulusban. A Principia Mathematica célja az volt, hogy mindezt egyetlen logikai rendszerbe foglalja.
Az 1+1=2 bizonyítása a halmazoktól indul. A szerzők először definiálják, mi az a „szám”, majd azt is, mit jelent az összeadás. A gondolatmenet leegyszerűsítve így néz ki:
- Vegyünk két halmazt: az egyikben van egy elem, a másikban szintén egy.
- Ha ez a két elem különböző, akkor a két halmaznak nincs közös része.
- Ha ezeket a halmazokat egyesítjük, akkor egy olyan halmazt kapunk, amely pontosan két elemet tartalmaz.
Ez az absztrakt logikai levezetés felel meg annak az állításnak, hogy 1+1=2. A megoldás azért ilyen bonyolult, mert a szerzők nem egyszerűen kijelenteni akarták az eredményt: a lehető legszigorúbb logikai alapokra akarták azt helyezni. Ehhez minden apró lépést külön definiálni és bizonyítani kellett – még olyan triviális dolgokat is, mint hogy „ha két dolog létezik, akkor külön-külön is léteznek”.
Olvasd el ezt is!